Reaksiyon Mühendisliği Soru Çözümü (Fogler, P5-4)

Screenshot 2015-11-10 11.42.20

Soru

Screenshot 2015-11-10 11.42.20

P5-4 Atardamardaki kan, doku içindeki bir kılcal damara girdiğinde, şekilde görüldüğü gibi kendi çevresindeki karbon dioksiti oksijen ile değiştirir. Kandaki hemoglobinin oksijen verme kinetiği Nakamura ve Saub tarafından borusal bir reaktör yardımıyla incelendi. [J.Physiol, 173,161]

{ HbO }_{ 2 }\rightleftharpoons Hb+{ O }_{ 2 }

Bu tersinir tepkimesinin geriye doğru tepkime ihmal edilip ölçümler başlangıç fazında yapılmıştır. Nakamuta ve Saub tarafından kullanılan bir sisteme benzer bir sistem düşünün: Çözelti, tüp boyunca 5 cm aralıkla oksijen   elektrodu yerleştirilmiş olan borusal reaktöre (0.158 cm çapında) girer. Çözeltinin reaktörde akışhızı 19.6 { cm }^{ 3 }/s dir.

a) Diferansiyel Analiz

b) Regresyon kullanarak tepkime derecesini ve ileri yöndeki reaksiyon hız sabitini belirleyin.

Elektrod Konumu Yüzde Bozunma
1 0
2 1.93
3 3.82
4 5.68
5 7.48
6 9.25
7 11

Çözüm

Soruda elektrod konumuna göre hemoglobinin yüzde değişimi verilmiş. Genel mol eşitliğini verilenlere göre düzenlememiz gerekir.

Soruda elektrodların her 5 cm de bir yerleştirildiği belirtildiğine göre yol boyunca (z) değişim söz konusudur demektir. Demek ki bağımsız değişkenimiz yol (z).

Yola bağlı olarak yüzde değişim verildiğine göre, yüzde değişimi 100'e bölerek molce değişimi (X) bulabiliriz.

Böylelikle elimizde yola bağlı değişim verileri buunmaktadır. (z ve X)

Mol eşitliği: { F }_{ A0 }-{ F }_{ A }+r\times dV=\frac { d{ N }_{ A } }{ dt }

Hız eşitliği: -{ r }_{ A }=k{ C }_{ A }^{ n }

Kararlı hal olduğu için; \frac { d{ N }_{ A } }{ dt } =0

Denklem düzenlenirse;

{ F }_{ A0 } \frac { dX }{ dV }=(kC_{ A0 }(1-X))^n

Hacim değişiminde kesit alanı sabit olduğundan dV=A_c dz

\frac { dX }{ dz } =\frac { kC_{ A0 }^{ n }A_{ c } }{ F_{ A0 } } (1-X)^{ n }

Sabitler tek bir sabite eşitlenirse:

a=\frac { kC_{ A0 }^{ n }A_{ c } }{ F_{ A0 } }

Denklem doğrusallaştırılırsa:

ln(\frac { dX }{ dz } )=ln(a)+n ln(1-X)

Artık denklem y=a+bx şeklinde bir denkleme dönüşmüş oldu.

Böylelikle ln(1-X) e karşı ln(\frac { dX }{ dz } ) verileri grafiğe geçirilirse, grafik doğrusal bir grafiği vermelidir. Verilere en yakın doğru çizilerek, bu doğrunun eğiminden n, kesim noktasından ln(a) elde edilebilir.

Elimizde X den yola çıkarak ln(1-X)  verileri mevsutsa da ln(\frac { dX }{ dz } ) verileri henüz mevcut değil. Bu verilerin bulunması için çeşitli yöntemler kullanılır.

a) Diferansiyel yöntem

Diferansiyel yöntem ile x ve z verilerinden yola çıkarak \frac { dX }{ dz }  verileri bulunabilir.

Histogram çizerek: Histogram yardımıyla dX/dz verilerini bulabilmek için öncelikle ΔX/Δz verilerinin hesaplanması gerek. Aşağıdaki histogram milimetrik kağıda çizilerek histogram üzerine taralı alan ile boş alan birbirine eşit olacak şekilde bir eğri öngörüsü çizilir. Daha sonra her veri için bu eğriden y eksenindeki değerler okunur. Okunan bu değerler dX/dz olarak kaydedilir.

grafik

yada z ler için ara değerler hesaplanarak noktasal grafik çizilip, grafikteki verilere (noktalara) eğri uydurulabilir. Uydurulan eğri dX/dz eğrisi gibi kabul edilip her z için dX/dz okunabilir. Bu da aşağıda verilmiştir.

Bu işlem milimetrik kağıda yapılabileceği gibi Excel ile de yapılabilir. Excel ile yaptığımızda z aradeğer verilerine karşı ΔX/Δz noktasal grafiği çizildiğinde, noktalar üzerine ekleyeceğimiz 2. dereceden bir polinomu dX/dz verilerini okuyabileceğimiz eğri olarak kabul edebiliriz. Böylelikle elde edilen polinoma sırasyla z verilerini verdiğimizde dX/dz verilerini de elde etmiş olacağız.

Ekran Resmi 2015-11-11 00.58.43

Milimetrik kağıda çizilmiş ise yine noktalara uygun bir eğri çizilir ve z verilerine karşı dX/dz verileri y ekseninden okunup kaydedilir.

Böylelikle x eksenini teşkil eden ln(1-x)  verilerine karşın y eksenini teşkil eden \frac { dX }{ dz }  verileri grafiğe geçirildiğinde verilere enyakın doğrunun eğimi reaksiyonun derecesi olan n'yi kesim noktası ise ln(a)'yı verecektir.

gr2

Değer Birim İng Komut Türkçe Komut
Fa0 4.57E-05 mol/s
Ac 0.0196 cm2
n 0.969216375 =SLOPE =EĞİM
ln(a) -5.5611397 =INTERCEPT =KESİMNOKTASI
a 0.003844392 =EXP =ÜS
k -3.78E+03

B) Regresyon Yöntemi

Bu yöntemde verilerden yola çıkarak X bağımlı değişkenini z bağımsız değişkenine bağlayan bir fonksiyon (polinom) öngörmemiz gerek. Bunun için veri analizi yöntemleri kullanılabileceği gibi, bilgisayar üzerinden (excel, MATLAB vs.) eğri uydurma (fitting) yöntemi kullanılabilir.

Aşağıda Excel üzerinden X'i z'ye bağlayan bir polinom üzetiliyor. (Bunun için X ve z verilerinin noktasal grafiğini çizip Eğim çizgisi ekleyerek Eğim çizgisi yöntemini polinom yapıyoruz.)

gr4b1

Ürettiğimiz polinomun türevi bize \frac { dX }{ dz }  ifadesini verecektir. Böylelikle her z değeri için \frac { dX }{ dz }  ifadesinin verilerini türev polinomunda z'leri yerine yazarak bulabiliriz.

Böylece regresyon yöntemiyle de \frac { dX }{ dz } ifadesinin değerlerini bulmuş olduk. A şıkkındaki işlemleri tekrar edip reaksiyon hız sabiti (k) ve reaksiyon derecesini (a) bulabiliriz.

Bir Yorum Yazın